Problemi di scelta. y ˆ 5x 800 y ˆ 1500

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1 A Probemi di sceta CioÁ che abbiamo studiato a proposito dea retta ci puoá essere di aiuto per risovere probemi in cui si deve fare una sceta tra diverse possibiitaá. Per esempio quando si acquista un'auto e ci vengono proposte diverse possibiitaá di pagamento, quando un'azienda deve investire ne'acquisto di un macchinario e deve scegiere tra acuni che presentano caratteristiche operative diverse, o piuá sempicemente se si deve scegiere i preventivo migiore per andare in gita (che non eá sempre queo che offre i prezzo piuá basso!). Vediamo quindi quache esempio. I probema. Ad un impiegato, che si presenta in una agenzia di pratiche automobiistiche, viene offerto un avoro che consiste nea compiazione di acune serie di modui per 'evasione di particoari pratiche. Gi vengono proposte due forme di cacoo deo stipendio ordo: A: E 00 a mese fisse piuá E 5 per ogni pratica evasa; B: E 500 fisse. Tenendo presente che non si possono evadere meno di 00 pratiche, pena i icenziamento, quae saraá a sceta piuá conveniente per 'impiegato? Anaizziamo i probema. I guadagno de'impiegato eá indipendente da numero di pratiche evase ne caso B, dipende invece da questo ne caso A. Indichiamo con x i numero di pratiche che vengono espetate in un mese; non essendo possibie evadere meno di 00 pratiche, i dominio di x eá 'insieme D ˆfx 2 N j x 00g. Se indichiamo con y o stipendio de'impiegato, y eá funzione di x e avremo, nei due casi, e seguenti reazioni: A: y ˆ 5x 00 B: y ˆ 500 Sappiamo che, ne piano cartesiano, queste due reazioni rappresentano dee rette, i cui punto di intersezione si cacoa risovendo i sistema dee oro equazioni: y ˆ 5x 00 x ˆ 40 y ˆ 500 y ˆ 500 Le rette si intersecano in P 40, 500. Disegniamo e due rette tenendo presente che, per i tipo di numeri coinvoti, si rende necessario usare due unitaá di misura diverse sui due assi (figura ). Da'osservazione de grafico possiamo dedurre che quando x assume vaori minori di 40, i punti dea retta r associata a'equazione A hanno una ordinata minore di quei sua retta s associata a'equazione B; viceversa, se x eá maggiore di 40, i punti dea retta r hanno ordinata maggiore di quei dea retta s. Figura

2 L'ordinata de punto P, corrispondente a caso in cui x vae 40, eá a stessa per e due rette. Lo stipendio de'impiegato, e di conseguenza a sceta che egi deve fare sua modaitaá di pagamento deo stesso, dipenderaá daa sua abiitaá ad evadere e pratiche: se egi prevede di portare a termine meno di 40 pratiche, gi converraá scegiere a modaitaá di pagamento B; se egi prevede di riuscire a sbrigare piuá di 40 pratiche, gi converraá scegiere a modaitaá A; ne caso particoare in cui egi dovesse evadere proprio 40 pratiche, a sceta diventa indifferente. I punto P corrispondente ae 40 pratiche, viene detto punto di indifferenza. Riepiogando: n se 00 x < 40 a sceta piuá conveniente eá a B n se x ˆ 40 a sceta eá indifferente n se x > 40 a sceta piuá conveniente eá a A. Nea figura abbiamo messo in evidenza a sceta ottimae con un tratto rosso. La souzione di questo probema puoá essere rappresentata da una funzione ineare a tratti che ha a seguente equazione: 500 se 00 x < 40 y ˆ 5x 00 se x 40 II probema. Una azienda vinicoa puoá imbottigiare, sua base dea disponibiitaá dei materiai, una quantitaá di vino variabie fra 30 e 300 itri a giorno in bottigie da itro ciascuna. Per fare cioá ha a disposizione tre macchinari che indicheremo con A, B, C, che hanno gi stessi costi di utiizzo per unitaá di tempo, e di cui si sa che: a macchina A impiega 30 secondi per riempire una bottigia ed ha dei tempi di preparazione iniziai di ora; a macchina B impiega 40 secondi per o stesso avoro e a sua preparazione iniziae eá di 30 minuti; a macchina C impiega minuto per 'imbottigiamento, ma a sua preparazione iniziae richiede soo 5 minuti. Quae macchina conviene usare? Anaizziamo i probema. La sceta di quae macchina usare dipende daa quantitaá di vino disponibie per 'imbottigiamento, ma in ogni caso sappiamo che a produzione minima eá di 30 bottigie a giorno, quea massima di 300. Se indichiamo con x i numero di bottigie prodotte in un giorno, i dominio di x eá 'insieme D ˆfx 2 N j 30 x 300g. Indichiamo con y i tempo, misurato in minuti, di utiizzo di ogni macchina per 'imbottigiamento dee x bottigie; y eá funzione di x e e reazioni agebriche che egano e due variabii sono nei tre casi: Per a macchina A: i tempo totae eá dato da mezzo minuto per ognuna dee x bottigie minuti) per a preparazione. Otteniamo a reazione: y ˆ 2 x x piuá ora (60 Per a macchina B: i tempo totae eá dato da 40 secondi, equivaente a 2 di minuto, per ognuna dee x bottigie x, piuá 30 minuti per a preparazione. Otteniamo a reazione: y ˆ 2 3 x 30. Per a macchina C: i tempo totae eá dato da minuto per ognuna dee x bottigie piuá 5 minuti per a preparazione. Otteniamo a reazione: y ˆ x 5. Rappresentiamo in un sistema di riferimento cartesiano e tre rette corrispondenti ae equazioni ottenute (figura 2 di pagina seguente).

3 La sceta piuá conveniente per 'azienda eá quea che comporta un minor tempo di utiizzo dea macchina e quindi un minor costo di produzione; graficamente e scete ottimai sono indicate da percorso in rosso. Dobbiamo dunque determinare i punti di intersezione dee rette dei tempi dee macchine C e B e poi B e A. Non eá invece necessario trovare i punto d'intersezione dee rette dei tempi di A e C. Risoviamo dunque i sistemi < y ˆ 2 3 x 30! R 45, 60 : y ˆ x 5 R e P rappresentano i punti in cui eá indifferente scegiere di usare una macchina piuttosto che 'atra fra e due rappresentate dae rette in questione. Da'anaisi de grafico deduciamo che: n se 30 x < 45 i tempi minori sono quei reativi aa macchina C percheâ per tai vaori di x a retta di questa macchina ha e ordinate minori; n se x ˆ 45 i tempi dea macchina C e quei dea macchina B sono uguai, quindi a sceta puoá cadere indifferentemente su'una o su'atra macchina; n se 45 < x < 0 i tempi minori sono quei reativi aa macchina B; n se x ˆ 0 i tempi dee macchine A e B sono uguai, quindi a sceta eá indifferente; n se 0 < x 300 i tempi minori sono quei dea macchina A. >< >: y ˆ 2 x 60 y ˆ 2 3 x 30 Figura 2! P 0, 50 Anche a souzione di questo probema puoá essere rappresentata mediante una funzione ineare a tratti di equazione: x 5 se 30 x < 45 >< 2 y ˆ x 30 se 45 x 0 3 >: x 60 se 0 < x 300 2

4 ESERCIZI Ad uno studente universitario che, per pagarsi gi studi deve avorare, viene proposta un'attivitaá di vendita porta a porta di encicopedie per a casa. L'azienda che distribuisce questi prodotti pone come condizione ai venditori di vendere ameno 4 encicopedie a mese e propone due aternative per i compensi, che indichiamo con A e B: A: E 400 a mese a forfait, cioeá indipendentemente da numero di encicopedie vendute. B: E 200 di quota fissa piuá E 25 per ogni encicopedia venduta. Quae saraá a sceta piuá conveniente per o studente? Anaizziamo i probema. I guadagno deo studente eá indipendente da numero di encicopedie vendute ne caso A; dipende invece da questo ne caso B. Indichiamo con x i numero di encicopedie vendute; ricordando che non eá possibie venderne meno di 4, pena i icenziamento, i dominio di x eá 'insieme D ˆfx 2 N j x 4g. Se indichiamo con y i guadagno deo studente, y eá funzione di x e avremo, nei due casi, e seguenti reazioni: A : y ˆ 400 B : y ˆ 25x 200 Ne piano cartesiano, queste due reazioni rappresentano dee rette, i cui grafico eá nea figura a ato; notiamo che, per rappresentare, abbiamo dovuto usare due diverse unitaá di misura sugi assi. Nea stessa figura abbiamo poi indicato i dominio de probema, che ricordiamo eá 'insieme degi x 4, con uno sfondo di coore giao. I punto di intersezione dee due rette si trova risovendo i sistema y ˆ 400 da cui P, 400 y ˆ 25x 200 Da grafico possiamo dedurre che, quando x assume vaori minori di, i punti dea retta r hanno un'ordinata maggiore di quei sua retta s; viceversa, se x eá maggiore di sono i punti dea retta s ad avere ordinata maggiore di quei sua retta r ; 'ordinata de punto P corrispondente ad x ˆ eá invece a stessa per e due rette. I guadagno de nostro studente, e di conseguenza a sceta di come essere pagato, dipenderaá quindi dae sue capacitaá di vendita: se egi prevede di vendere meno di encicopedie, gi converraá scegiere a forma di pagamento A (corrispondente aa retta r); se egi prevede di riuscire a vendere piuá di encicopedie a mese, gi converraá scegiere a forma di pagamento B (corrispondente aa retta s); ne caso poi in cui egi vendesse proprio encicopedie, saraá indifferente scegiere 'una o 'atra forma. I punto P viene per questo motivo detto punto di indifferenza.

5 Riepiogando: n se 4 x < a sceta piuá conveniente eá a A; n se x ˆ a sceta eá indifferente; n se x > a sceta piuá conveniente eá a B. 2 Ad un impiegato vengono proposte tre forme di cacoo deo stipendio: A: E 00 a mese piuá E 0 per ogni pratica evasa; B: E 500 a mese fisse; C: nessuno stipendio base ma E 50 per ogni pratica evasa. Determina, a variare de numero x di pratiche evase ogni mese, a sceta piuá conveniente per 'impiegato. x 30 : B; x 30 : C, con x 2 N Š 3 Un industriae per fabbricare e sue scatoe di cartone puoá usare due differenti tipi di produzione che indichiamo con A e B. Per i tipo di produzione A a spesa di manodopera per ogni pezzo eá di E 2, piuá una spesa fissa giornaiera di E 240. I tipo di produzione B comporta invece una spesa fissa di E 360 piuá una spesa per pezzo di E 0. Determina i tipo di produzione giornaiera piuá conveniente per 'industriae a variare dea quantitaá x prodotta. x 60 : A; x 60 : B, con x 2 N Š 4 Ripeti 'esercizio precedente supponendo che, anche per 'aternativa B, a spesa per ogni pezzo sia di E 2. Che cosa osservi? 5 Un piccoo industriae produttore di magiette, puoá scegiere tre diversi modi per produre con i seguenti costi: A: una spesa fissa di E 4 piuá E 0,60 per ogni magietta prodotta; B: una spesa fissa di E 20 piuá E 0,25 per ogni magietta prodotta; C: una spesa di E per ogni magietta prodotta. Determina 'aternativa piuá conveniente in dipendenza de numero di magiette prodotte giornamente, sapendo che e ore di avorazione de personae consentono di produrne non meno di 50 ma non piuá di x 20 : C; 20 x 360 : A; 360 x 400 : B, con x 2 N Š 6 I sig. Rossi per i riscadamento dea sua casa in montagna puoá scegiere tra e seguenti due forniture di combustibie: A: E 0,97 a itro piuá e spese di trasporto di E 20; B: E a itro piuá e spese di trasporto di E 5. Scrivi per ciascuna fornitura a funzione che rappresenta i costo e determina quae dee due risuta piuá conveniente. x 500 : B; x 500 : A, con x 2 RŠ 7 I preventivo per i trasporto di una data merce presentato da due imprese A e B eá i seguente: A: E 0,50 a quintae piuá una spesa fissa di E 200; B: E 0,90 a quintae piuá una spesa fissa di E 20. Sapendo che i numero dei quintai da trasportare non eá mai superiore ai 400, determina i preventivo piuá conveniente. x 200 : B; 200 x 400 : A, con x 2 RŠ Un cazaturificio dispone di due macchinari per tagiare e cucire a pee per confezionare scarpe. La prima macchina necessita di un tempo di 5 minuti per essere predisposta e prepara a pee per tre paia di scarpe a minuto; a seconda macchina necessita di 30 minuti per essere predisposta e pre-

6 a pee per 4 paia di scarpe a minuto. Determina, a variare de numero di scarpe che si devono preparare, qua eá a macchina piuá conveniente da usare, tenendo presente che, vista a disponibiitaá di pee giornaiera, non eá possibie confezionare piuá di 250 paia di scarpe a giorno. Per preparare un paio di scarpe per a avorazione occorre un tempo in minuti pari a: per a prima macchina: 3 per a seconda macchina: 4 I tempo totae y (in minuti) per produrre x paia di scarpe, tenendo conto anche de tempo di preparazione, eá quindi: per a prima macchina: y ˆ 5 3 x per a seconda macchina: y ˆ 30 4 x Confronta adesso e due rette e determina a sceta piuá conveniente a variare di x. x 0 : I macchina; 0 x : 250 : II macchina, con x 2 N Š 9 Una ditta che produce buoni possiede due macchine. La prima richiede un tempo di preparazione di mezz'ora e produce 3 buoni a minuto; a seconda richiede 50 minuti per a preparazione e produce 6 buoni a minuto. Ogni macchina non puoá rimanere accesa per piuá di ore consecutive. Determina, a variare de numero x di buoni prodotti, in quai casi conviene usare 'una o 'atra macchina. x 20 : I macchina; 20 x 250 : II macchina, con x 2 N Š 0 Una banca pubbicizza due forme di investimento di capitai. Ne primo caso offre un rendimento netto de 6% diminuito di E 500 per e spese sostenute daa banca per a gestione de capitae; ne secondo caso offre una rendita netta de 4% diminuita di E 200. Determina, a variare de capitae x investito, qua eá a forma di investimento piuá conveniente. x < 5000 : a seconda; x 5000 : a prima, con x 2 RŠ Una azienda deve inscatoare i suoi prodotti e per fare cioá ha a disposizione tre macchinari che indichiamo con A, B, C. La macchina A necessita di 5 minuti per essere predisposta a'uso e confeziona 0 scatoe a minuto; a macchina B necessita di 30 minuti di preparazione e prepara 5 scatoe a minuto; a C non necessita di tempi di riscadamento e prepara 6 scatoe a minuto. La produzione massima giornaiera non supera e scatoe. Determina, a variare de numero x di scatoe da confezionare, qua eá a macchina piuá conveniente da usare. x 225 : C; 225 x 450 : A; 450 x 5000 : B, conx 2 N Š 2 Un biscottificio puoá confezionare i suoi biscotti in due modi diversi A e B. Ogni confezione viene poi rivenduta rispettivamente a E ee6,50. Sapendo che i confezionamento di tipo A comporta una spesa fissa di utiizzo dei macchinari di E 200, piuá una spesa variabie unitaria di E 2, mentre queo di tipo B una spesa fissa di E 0, piuá una spesa variabie unitaria di E,50, determina quae dee due confezioni eá piuá conveniente a variare de numero x di scatoe di biscotti prodotte, tenendo presente che a produzione massima giornaiera eá di 300 confezioni. 6 < x 20 : B; 20 x 300 : A, con x 2 N Š